Vor uns steht ein zylinderförmiges Glas, in dem sich Wasser befindet. Wir kippen das Glas, bis die Oberkante des Wassers genau den oberen Rand des Glasbodens berührt – siehe Abbildung oben. Kurioserweise ist die Höhe der Wasserlinie über der Tischebene dann exakt so hoch wie im nicht gekippten Zustand.

Wir wissen, dass die Grundfläche des Glases 3·Pi beträgt.

Wie viel Wasser befindet sich im Glas? Gesucht ist das Volumen.

Hinweis: Wir nehmen an, dass die Glasdicke null beträgt.

Das Volumen des Wassers im Glas beträgt 9·Pi.

Wir schauen uns zuerst das Glas im gekippten Zustand genauer an – siehe Skizze unten rechts. Das Wasser belegt einen Bereich des Glases, der einem schräg nach unten abgeschnittenen Zylinder entspricht. Wenn wir diesen Bereich um 180 Grad drehen, grün markieren und gedanklich auf die Wasseroberfläche setzen, erhalten wir ein Gesamtvolumen aus grauem und grünem Bereich, das exakt doppelt so groß ist wie das Volumen des Wassers im Glas (grauer Bereich).

Daraus folgt: Die schräge Außenkante des Glases gemessen vom Tisch bis zur Wasserlinie ist doppelt lang wie die Höhe der Wasserlinie h.

Schauen wir als Nächstes auf das kleine Dreieck mit den grünen Kanten rechts unten. Seine Hypotenuse entspricht dem Durchmesser des Glases und hat eine Länge von 2·Wurzel(3).

Warum? Die Grundfläche des Glaszylinders beträgt 3·Pi. Für den Radius gilt wegen der Flächenformel des Kreises (Pi·r²):

r = Wurzel(3)

Die lange Kathete des rechtwinkligen Dreiecks mit den grünen Kanten entspricht h. Die kurze Kathete ist halb so lang wie die Hypotenuse, also Wurzel(3).

Warum? Das Dreieck mit den grünen Kanten ist ähnlich zum Dreieck links daneben mit der Hypotenuse 2h und der kurzen Kathete h.

Nun können wir die Höhe h mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

h² + (Wurzel(3))² = (2·Wurzel(3))²
h² + 3 = 12
h² = 9
h = 3

Das Volumen des Wassers im aufrecht stehenden Zylinder wird mit der Formel Grundfläche mal Höhe berechnet und beträgt deshalb 3·3·Pi = 9·Pi.

Entdeckt habe ich diese Aufgabe in der Facebook-Gruppe »Geometria Supertop«.

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