Der junge Carl Friedrich Gauß verblüffte einst seinen Lehrer, weil er die Zahlen von 1 bis 100 im Handumdrehen addieren konnte. Dabei half ihm ein cleverer Trick: Sortiert man die 100 Zahlen zu 50 Paaren mit der jeweiligen Summe 101, also 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter, steht die gesuchte Summenformel schon da: 101 * 50 = 5050.

Ihre Aufgabe ist nicht ganz so leicht: Die Zahlen von 1 bis 10.000 sollen – salopp gesagt – aufsummiert werden. Wobei manche der Zahlen als Vorzeichen ein Minus haben: Vor der 1 steht ein Minus, vor den Zahlen 2, 3 und 4 ein Plus. Dann von 5 bis 9 wieder ein Minus und von 10 bis 16 ein Plus, von 17 bis 25 wieder ein Minus und so weiter.

Das Muster dahinter: Hinter jeder Quadratzahl, also hinter 1, 4, 9, 16, 25 und so weiter, wechselt das Vorzeichen – siehe Bild oben.

Wie groß ist diese Summe?

Die Summe beträgt 100³ = 1.000.000

Schauen wir uns die Summe genauer an. Hinter einer Quadratzahl, wir nennen sie n², gibt es einen Vorzeichenwechsel. Alle Zahlen beginnend bei n² + 1 bis (n+1)² haben dasselbe Vorzeichen.

Wir berechnen die Summe dieser Zahlen mit gleichem Vorzeichen. Um die Zahlen von n² + 1 bis (n+1)² aufzuaddieren, nehmen wir die Summe der Zahlen von 1 bis (n+1)² und ziehen davon die Summe aller Zahlen von 1 bis n² ab.

Dabei verwenden wir die von Gauß genutzte Formel: Die Summe aller Zahlen von 1 bis k ist: k*(k+1)/2.

Die Summe aller Zahlen von 1 bis (n+1)² ist: ((n+1)² + 1)*(n+1)²/2.

Die Summe aller Zahlen von 1 bis n² ist: (n² + 1)*n²/2.

Wenn wir die Differenz dieser beiden Summen bilden, kommen wir auf (n+1)³ + n³.

Für die Berechnung der Summe über die 10.000 Zahlen gilt dann:

Summe = –1 +2 +3 +4 –5 –6 –7 –8 –9 +10 + …

Summe = – 1³ + (1³ + 2³) – (2³ + 3³) + … – (98³ + 99³) + (99³ + 100³)

Vielleicht erkennen Sie, dass es sich hier um eine sogenannte Teleskopsumme  handelt. Die Vorzeichen wechseln nach jeder Quadratzahl, daher heben sich die Kubikzahlen gegenseitig auf – bis auf die allerletzte Zahl 100³. 100³ ist dann auch das gesuchte Ergebnis.

Entdeckt habe ich dieses Rätsel in der Facebook-Gruppe »Trik Master Matematika« .

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