Ein klassischer Spielwürfel hat sechs Seiten mit den Augenzahlen von eins bis sechs. Sofern der Würfel nicht manipuliert ist, hat jede der sechs Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Neben einem solchen normalen Würfel gibt es noch einen zweiten ohne Beschriftungen der Seiten. Sie sollen die Seiten so beschriften, dass beim Werfen beider Würfel alle Summen von eins bis zwölf möglich sind. Und dass jede dieser Summen eine gleich große Wahrscheinlichkeit hat.

Existiert dafür eine Lösung?

Ja, es gibt eine Lösung! Drei Seiten müssen mit einer Null und drei Seiten mit einer Sechs beschriftet werden.

Der erste Würfel hat die Zahlen von eins bis sechs. Weil beim Werfen beider Würfel weiterhin eine Eins möglich sein soll, muss mindestens eine Seite des zweiten Würfels mit einer Null beschriftet sein.

Zugleich soll beim Werfen beider Würfel die Summe zwölf möglich sein. Das klappt nur, wenn mindestens eine Seite des zweiten Würfels eine Sechs trägt.

Da die Wahrscheinlichkeit für jede der Summen von 1 bis 12 gleich groß sein soll, muss diese 1/12 betragen. Jeder Würfel hat sechs Seiten, damit sind insgesamt 6*6 = 36 verschiedene Kombinationen mit gleich großer Wahrscheinlichkeit von 1/36 möglich.

Um die Gleichverteilung mit p = 1/12 zu erreichen, muss jede der zwölf Summen von eins bis zwölf in drei verschiedenen Kombinationen vertreten sein (3/36 = 1/12).

Für die Summe 1 bedeutet dies, dass wir beim zweiten Würfel drei Seiten mit einer Null brauchen. Für die Summe 12 heißt das, dass es drei Seiten mit einer Sechs auf dem zweiten Würfel geben muss.

Und das ist auch schon die gesuchte Lösung!

Entdeckt habe ich dieses Rätsel auf dem Instagram-Kanal  des US-Mathematikers Marc Ordower .

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