Die neue Knobelei sieht auf den ersten Blick aus wie ein geometrisches Problem. Sie hat aber auch sehr viel mit einem anderen Gebiet der Mathematik zu tun – der Kombinatorik.
Das Kreuz mit dem Quadrat
Holger DambeckPreisabfragezeitpunkt
14.12.2025 19.56 Uhr
Keine Gewähr
Gegeben sind 16 Punkte, die ein regelmäßiges, quadratisches Raster der Größe 4 mal 4 bilden. Sie wählen drei Punkte aus, sodass diese die Eckpunkte eines Dreiecks bilden (dessen Fläche größer als null ist).
Wie viele verschiedene Dreiecke sind möglich?
Hinweis: Zwei Dreiecke gelten als verschieden, wenn sie sich bei mindestens einem ihrer Eckpunkte unterscheiden.
Es gibt 516 verschiedene Dreiecke.
Die Schwierigkeit der Aufgabe besteht darin, dass drei zufällig ausgewählte Punkte nicht zwingend ein Dreieck bilden. Sie können auch auf einer Linie liegen.
Zuerst schauen wir zuerst, wie viele verschiedene Kombinationen es gibt, aus den 16 Punkten 3 auszuwählen – unabhängig davon, ob die drei Punkte ein Dreieck bilden oder eine Linie. Dies sind 16 über 3, der sogenannte Binomialkoeffizient .
Wie wird der berechnet? Für den ersten Punkt können wir einen aus 16 wählen, für den zweiten einen aus den dann noch verbliebenen 15 Punkten, und für den dritten einen aus 14. Dies sind
16*15*14
verschiedene Kombinationen. Bei dieser Berechnung gelten zwei Kombinationen auch dann als unterschiedlich, wenn sie dieselben drei Punkte in unterschiedlicher Reihenfolge enthalten. Ein Beispiel: Wir nummerieren die 16 Punkte von 1 bis 16. Hinter den zwei Kombinationen (1 3 7) und (7 3 1) steht dann dasselbe Dreieck. Deshalb müssen wir die Zahl der Kombinationen (16*15*14) noch durch
3*2*1
teilen.
Insgesamt sind daher
16*15*14/3*2*1 = 8*5*14 = 560
verschiedene Kombinationen bestehend aus drei Punkten möglich.
Davon müssen wir allerdings noch alle Kombinationen abziehen, bei denen die drei Punkte auf einer Linie liegen, also kein Dreieck vorliegt. Möglich sind horizontale, vertikale und diagonale Linien, bestehend aus je drei Punkten.
Horizontale Linien:
Es gibt 4 Zeilen mit je 4 Punkten. Pro Zeile sind (4 über 3) = 4 verschiedene Kombinationen möglich. Das sind insgesamt 4*4 = 16.
Vertikale Linien:
Es gibt 4 Spalten mit je 4 Punkten. Pro Spalte sind (4 über 3) = 4 verschiedene Kombinationen möglich. Das sind insgesamt 4*4 = 16.
Diagonale Linien:
Die beiden Hauptdiagonalen bestehen aus je 4 Punkten. Dort existieren zusammen (4 über 3) mal 2 = 8 Kombinationen.
Hinzu kommen die insgesamt vier schrägen Linien, bestehend aus je drei Punkten. Dies sind 4 Kombinationen.
Alle Linien zusammen:
Es existieren 16 waagerechte, 16 senkrechte und 12 diagonale Punktekonstellationen auf einer Linie. Deshalb lautet die Lösung:
560 – 44 = 516
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Kommen drei Logiker in eine Bar...: Die schönsten Mathe-Rätsel (Aus der Welt der Mathematik, Band 3)
Dambeck, HolgerPreisabfragezeitpunkt
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