Rätsel der Woche: Wie lautet die letzte Ziffer von 777 hoch 333?

Hoffentlich gehört das Rechnen mit Potenzen zu Ihren Stärken. Das könnte Ihnen bei der Lösung des folgenden Problems helfen. Wir bilden ein Produkt aus 333 Zahlen. Diese 333 Zahlen sind alle gleich: Es handelt sich um 777.

Wir können dieses Produkt übersichtlicher als Potenz schreiben:

777³³³

Die Frage ist, wie die letzte Ziffer dieses Zahlenmonsters lautet. Wissen Sie’s?

An der Einerstelle der Zahl 777³³³ steht die Ziffer 7.

Wir schauen uns an, auf welche Ziffern die erste, zweite, dritte und vierte Potenz von 777 enden. Dafür nutzen wir den Modulo-Operator, kurz mod . Er gibt an, welchen Rest eine Zahl beim Teilen durch eine andere Zahl lässt. In unserem Fall beim Teilen durch 10, weil wir uns für die letzte Ziffer interessieren. 777 lässt bei der Division durch 10 den Rest 7, was Mathematiker wie folgt aufschreiben:

777¹ ≡ 7 mod 10

Wenn wir die Zehnerreste eines Produkts berechnen wollen, müssen wir nur die Einerstellen der beiden Zahlen (also ihre Zehnerreste) miteinander multiplizieren und dann den Zehnerrest dieses Produkts ermitteln. Warum?

Die erste Zahl schreiben wir in der Form (10a + b), wobei a und b natürliche Zahlen sind und die Einerstelle b zugleich der Zehnerrest von (10a + b). Analog ist d der Zehnerrest der zweiten Zahl (10c + d).

Die Einerstelle des Produkts (10a + b)*(10c + d) = 100ac + 10ad + 10bc + bd entspricht der Einerstelle von bd, weil die Zahlen 100ac, 10ad und 10bc sämtlich durch 10 teilbar sind.

Wenn ich den Zehnerrest von 777² berechnen will, brauche ich nur den Zehnerrest von 777, also 7, ins Quadrat zu nehmen: 7*7 = 49. Der Zehnerrest von 49 ist 9. Der Zehnerrest von 777³ entspricht dem Zehnerrest des Produkts 777² und 777, also dem Rest von 9*7 = 63 und beträgt daher 3. Der Zehnerrest von 777⁴ ist dann der Zehnerrest von 3*7 = 21, also 1. Der Zehnerrest von 777⁵ ist 1*7 = 7 und entspricht dem Zehnerrest von 777¹. Das Ganze noch mal in Modulo-Schreibweise:

777¹ ≡ 7 mod 10
777² ≡ 9 mod 10
777³ ≡ 3 mod 10
777⁴ ≡ 1 mod 10
777⁵ ≡ 7 mod 10

Wir sehen, dass der Zehnerrrest periodisch ist. Ist der Exponent durch 4 teilbar, ist der Rest 1. Hat der Exponent beim Teilen durch 4 den Rest 1 (zum Beispiel 777¹ oder 777⁵), beträgt der Zehnerrest 7.

Wir suchen den Zehnerrest von 777³³³. Weil 333 beim Teilen durch 4 den Rest 1 hat (333 ≡ 1 mod 4), entspricht der gesuchte Rest dem Zehnerrest von 777¹ und ist deshalb 7.

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