Flächenformeln können kompliziert sein. Wahrscheinlich haben Sie wie ich nur einige wenige im Kopf: etwa fürs Dreieck, das Rechteck, das Trapez oder für den Kreis. Beim heutigen Rätsel geht es darum, die Lösung möglichst ohne konkrete Flächenformel zu finden. Schaffen Sie das?

Gegeben sind vier gleichseitige Dreiecke, die mit jeweils einer Seite auf einer Seite eines Quadrats liegen. Und zwar so, dass sich die ins Innere des Quadrats ragenden Spitzen der vier Dreiecke an einem gemeinsamen Punkt treffen – siehe Bild oben.

Bei drei der vier Dreiecke ist die Fläche bekannt: 9, 16 und 25.

Wie groß ist dann das vierte Dreieck, das in der Zeichnung grün gefärbt ist?

Das grüne Dreieck hat eine Fläche von 36.

Man findet die Lösung natürlich, indem man mit der Flächenformel für das gleichseitige Dreieck die Höhen der drei Dreiecke mit den bekannten Flächen berechnet. Daraus lässt sich die Höhe des grünen Dreiecks berechnen, weil die Höhen zweier gegenüberliegender Dreiecke zusammen der Seitenlänge des Quadrats entsprechen.

Eleganter ist jedoch der folgende Weg: Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ist proportional zum Quadrat seiner Seitenlänge.

Weil Seitenlänge und Höhe beim gleichseitigen Dreieck zueinander proportional sind, gilt auch: Die Fläche eines Dreiecks ist proportional zum Quadrat seiner Höhe.

Daraus folgt: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist proportional zur Wurzel seiner Fläche.

Das Ganze als Formel aufgeschrieben:

Höhe = Faktor * Wurzel(Fläche)

Wie groß der Faktor ist, brauchen wir nicht zu wissen. Nur, dass der Faktor bei allen gleichseitigen Dreiecken gleich groß ist.

Wir wissen, dass die Höhen von gelbem und rotem Dreieck zusammen genauso groß sind wie die Summe der Höhen von blauem und grünem Dreieck.

Daher gilt:

Faktor*(Wurzel(25) + Wurzel(16)) = Faktor*(Wurzel(9) + Wurzel(grüne Fläche))

Wir könnten Faktor links und rechts weglassen und erhalten:

5 + 4 = 3 + Wurzel(grüne Fläche)

Die grüne Fläche ist deshalb 36.

Entdeckt habe ich diese Knobelei in der Facebook-Gruppe »Geometria Super Top« .

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