Kennen Sie das Ziegenproblem ? Die folgende Situation hat gewisse Ähnlichkeiten mit dieser Knobelei, bei der selbst mancher Profi intuitiv eine falsche Lösung wählt. Sie dürfen zweimal je einen Geldschein aus geschlossenen Boxen ziehen. Es gibt zwei Boxen. In einer liegen zwei 100-Euro-Noten, in der anderen nur eine und eine Niete mit dem Wert von 0 Euro. Sie können den Unterschied zwischen Niete und den echten Scheinen weder ertasten noch erfühlen.

Sie greifen in eine der beiden Boxen und ziehen einen Schein heraus. Glücklicherweise ist es eine 100-Euro-Note. Sie dürfen noch einen zweiten Schein ziehen, egal aus welcher Box. Wie gehen Sie vor, um Ihre Gewinnchancen zu optimieren?

Greifen Sie noch mal in dieselbe Box und nehmen den darin verbliebenen Schein?

Oder ist es besser, einen Schein aus der anderen Box zu ziehen?

Es ist egal, ob Sie die Box wechseln oder nicht. Die Chancen auf einen zweiten 100-Euro-Schein sind gleich hoch.

Möglicherweise hat Ihnen die eigene Intuition einen Streich gespielt und Sie haben sich für eine andere Antwort entschieden. Zwei Stolperfallen stecken in dem Problem: Wir erwischen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten einen Hunderter aus der ersten und der zweiten Box. Und wir müssen bei der Frage wechseln oder nicht immer zwei Situationen zusammen betrachten.

Beginnen wir mit dem ersten Zug. Dabei erwischen Sie jeden der vier Scheine mit der gleich hohen Wahrscheinlichkeit von 1⁄4.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1⁄4 ist es die Niete, mit p = 1⁄4 der 100-Euro-Schein aus der Box mit der Niete. Und mit p = 1⁄4 + 1⁄4 = 1⁄2 ist es ein Hunderter aus der Box mit den zwei 100-Euro-Noten.

Die Variante, dass es der 0-Euro-Schein ist, entfällt. Denn wir wissen ja, dass der erste Schein ein Hunderter ist. Damit steht fest, dass der Hunderter mit p = 1⁄3 aus der Box mit der Niete stammt und mit p = 2⁄3 aus der anderen Box mit zwei Hundertern.

Jetzt untersuchen wir für diese beiden Fälle, wie die Gewinnchancen auf einen zweiten 100-Euro-Schein sind, wenn wir die Box wechseln oder nicht.

Wir wechseln die Box nicht

Stammt der Hunderter aus der Box mit der Niete, gewinnen wir nichts, weil der andere Schein in dieser Box die Niete ist. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1⁄3 * 0. Kommt der Schein aus der anderen Box, gewinnen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 2⁄3 * 1 = 2⁄3, weil der zweite Schein aus dieser Box mit Sicherheit ein Hunderter ist. Beim Nichtwechseln der Box bekommen wir einen zweiten Hunderter daher mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von p = 1⁄3 * 0 + 2⁄3 * 1 = 2⁄3.

Wir wechseln die Box

Stammt der Hunderter aus der Box mit der Niete, erwischen wir beim Wechsel der Box mit Sicherheit einen Hunderter. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 1⁄3 * 1. Kommt der Schein aus der anderen Box, gewinnen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 2⁄3 * 1⁄2 = 1/3, weil in der anderen Box ein Hunderter und eine Niete sind. Die Gesamtwahrscheinlichkeit beim Wechseln der Box beträgt p = 1⁄3 * 1 + 2⁄3 * 1⁄2 = 2⁄3.

Fazit

Beide Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß und betragen 2⁄3!

Entdeckt habe ich diese Aufgabe im Instagram-Kanal »critikid« .

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